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ÉSTA ES UNA VISTA PREVIA. EL NÚMERO TOTAL DE PÁGINAS QUE SE VA A MOSTRAR SERÁ LIMITADO.

 

 

 

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“La ciencia no es más que el refinamiento de las reflexiones cotidianas.”

Albert Einstein

 

 

 

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ÍNDICE

 

Página

PRESENTACIÓN ……………..…………………………........….................................................……. 9

 

 

INTRODUCCIÓN ………………..…………………….....................................................…......…… 13

 

 

MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA, QUE NO OPERA

NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS, EN DIAGRAMAS ARTESIANOS .................................................................................................................................. 17

 

 

COMENTARIO PRELIMINAR: modelización gráfica a mano alzada …................................ 19

 

 

MÓDULO BÁSICO ….................................................................................... 21

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 1

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en la recta

numérica ….................................................................................................................… 23

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 2

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en diagrama

cartesiano. Concepto. Actividades/ juegos introductorios …......................................….. 27

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 3

La representación gráfica, a mano alzada, de un fenómeno de cambio en

diagrama cartesiano. El modelo de 2 variables ……......................................................... 29

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 4

Desde el lenguaje gráfico al lenguaje verbal, y viceversa ………….........................…..…… 33

 

 

 

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NIVEL DE COMPLEJIDAD 5

El modelo de 2 variables con vínculo negativo …………...............................................…… 35

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 6

Ejercicios/ juegos de modelización gráfica en 2 variables, con

vínculos positivo, negativo y nulo ……...………………..…..................................................… 37

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 7

El modelo de 2 variables que considera la intensidad del vínculo ….............................…. 43

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 8

Modelos de 3 variables …………….…………………….........................................…............…… 51

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 9

Ejercicios/ juegos de modelización gráfica en 3 variables ……............................….....…… 57

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 10

Modelos de más de 3 variables …………………….……....................................................…… 61

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 11

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

intersección de la curva con los ejes coordenados. Actividades/juegos introductorios ... 67

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 12

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

intersección de la curva con los ejes coordenados. Proporcionalidad simple I ................ 73

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 13

Modelización en 3 variables de fenómenos de cambio, considerando los puntos de

 

 

 

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intersección de las curvas con los ejes coordenados. Proporcionalidad compuesta I …... 85

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 14

Modelización en 2 variables de fenómenos de cambio, con ritmos de variación

acelerada, desacelerada y constante. Proporcionalidad simple II …..........................…. 101

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 15

El modelo de 3 variables que considera vínculos complejos entre variables.

Proporcionalidad compuesta II ………………………..................................................…..….. 121

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD 16

Modelización en 3 variables de fenómenos de cambio, con ritmos de variación

acelerada, desacelerada y constante ………………........................................................... 145

 

 

 

MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos

gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos …................... 161

 

 

INTRODUCCIÓN ………………..........………………………..………....................................................…....… 163

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-1”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

de 3 variables y 2 niveles de anidamiento ……..........................................................….. 167

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-2”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

 

 

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de 4 variables y 2 niveles de anidamiento …............................................................….. 173

 

 

NIVEL DE COMPLEJIDAD “VARIABLES ANIDADAS A-3”

La representación gráfica a mano alzada de fenómenos de cambio, en modelos

de 3 niveles de anidamiento …..................................................................................….. 177

 

 

 

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PRESENTACIÓN

 

La finalidad de esta propuesta es presentar una estrategia de enseñanza aprendizaje que utiliza un lenguaje gráfico cuyos enunciados van cobrando rigurosidad en forma progresiva durante el transcurso de los sucesivos capítulos. En su forma más simple, este lenguaje puede ser operado desde edad temprana dado que no opera números ni cálculos con algoritmos. Luego, capítulo tras capítulo, en un proceso espiralado de enseñanza aprendizaje, desarrollará formas cada vez más complejas con la finalidad de avanzar en la precisión de los enunciados que se pretende comunicar y/o transmitir. Así entonces, en esta obra se trabajará desde un lugar que aquí será denominado “lenguaje gráfico de trazo a mano alzada”. Este lenguaje gráfico … ¿es lenguaje matemático?. Es un lenguaje de cuantificación que facilita el tratamiento de temáticas que presentan aspectos cuantificables.

 

A lo largo del libro, con la finalidad de suscitar el interés de los alumnos, se presentan actividades contextualizadas que pueden ser operadas como juegos. Situaciones reales se presentan a través de actividades en las que se considera la importancia decisiva de dar significado a lo que se enseña y aprende.

 

 

La estrategia

 

Una línea trazada sobre una recta numérica o en un diagrama cartesiano contiene un mensaje: está diciendo algo. Si ese algo refiere a una situación que ocurre en el mundo, puede evaluarse la “RAZONABILIDAD” de lo que el gráfico está diciendo.

 

Entonces, estas líneas trazadas en rectas numéricas y diagramas cartesianos, que dicen cosas que ocurren o pueden ocurrir en el mundo, se constituyen en un lenguaje apto para comunicar ideas. Utilizado en el aula como instrumento didáctico por maestros y profesores para enseñar los temas a tratar en sus clases, favorecerá además en los alumnos, el desarrollo, por medio de la ejercitación, de capacidades para el manejo de herramientas alternativas de comunicación. En no pocos casos los mensajes, las ideas, los conceptos, transmitidos por medio de estos gráficos

 

 

 

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facilitan aprendizajes que comunicados en lenguaje coloquial pueden resultar engorrosos.

 

Así entonces, estamos ante instrumentos de comunicación, que comunican ideas, conceptos que deben ser aprendidos, y para ello, comprendidos. Ello involucra un juicio crítico acerca de la razonabilidad de cada idea, es decir, de cada enunciado que los gráficos presentan.

 

Además, siendo muchos de los conceptos que se enseñan en cualquier ámbito, susceptibles de tratamiento diferenciado según niveles de complejidad progresivos, es necesario contar con instrumentos didácticos que se adapten a las necesidades de tratamientos temáticos que permitan abordajes de complejidad progresiva, que permitan el acceso a estrategias orientadas a aprendizajes espiralados.

 

En ese sentido, la representación de una idea utilizando para ello la recta numérica, involucra un tratamiento particularmente sencillo para que sea fácilmente comprendido por el receptor, por quien está aprendiendo. Puede continuarse este proceso de comunicación, de enseñanza-aprendizaje, enriqueciendo esa idea al representarla por medio de una línea de trazo a mano alzada en un diagrama cartesiano. Para aquella idea original, simple, enriquecida luego con algún detalle adicional, la recta numérica puede resultar insuficiente para significar los nuevos detalles. El diagrama cartesiano, como instrumento de representación más sofisticado, puede permitir su captura y simbolización gráfica.

 

De esta manera, ideas representadas sobre una recta numérica, son retomadas después, simbolizadas en líneas de trazo a mano alzada en un diagrama cartesiano. Este diagrama, asumiendo progresivamente atributos de complejidad creciente, va conformando a lo largo de este trabajo una sucesión de versiones: al distinguir en los fenómenos representados detalles y sutilezas que involucran cada vez mayor nivel de precisión, cada una de las sucesivas versiones significa un avance, una superación de las anteriores. Así, la recta numérica y el diagrama cartesiano se constituyen en instrumentos gráficos, didácticos y versátiles para la representación modelizada de hechos, fenómenos y situaciones que deben ser enseñados en las aulas.

 

Un aspecto central de esta estrategia es considerar la importancia de la significación y producción de sentido en los procesos de enseñanza-aprendizaje. En esta obra se ha seleccionado una temática particular como contexto de las actividades que se desarrollan. En ella se exponen diversas situaciones en el marco de la temática “DENSIDAD DE LA POBLACIÓN DE LA CIUDAD DE FELICILANDIA EN AÑO 2040”. La estrategia de significación y producción de sentido que aquí se expone, parte de una

 

 

 

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representación elemental en recta numérica de variables referidas a la temática citada. En un proceso de progresiva complejización, que propone como disparador una hipótesis también elemental, se va construyendo, secuenciando adecuadamente, un conjunto de ideas de complejidad creciente expresadas a través del sistema simbólico que se ha descripto, utilizando la recta numérica y el diagrama cartesiano como instrumentos para la comunicación de la ideas.

 

Resumiendo, se expone en este trabajo una estrategia de enseñanza/ aprendizaje contextualizada y de carácter espiralado que se desarrolla con base en un “lenguaje de cuantificación” que aquí denominaremos lenguaje “de trazo a mano alzada en diagramas cartesianos” que no opera números ni cálculos algorítmicos . Se representan, en los sucesivos tramos de la espiral, las ideas y conceptos retomados desde el tramo anterior, para enriquecerlos en un proceso continuo de sofisticación de los instrumentos de representación gráfica: la recta numérica y sucesivas versiones, de complejidad creciente, del diagrama cartesiano.

 

La obra

 

El trabajo esta conformado por el segmento denominado “MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS”, que incluye un “COMENTARIO PRELIMINAR” y dos módulos, el “MÓDULO BÁSICO” y el “MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos”.

 

En el “COMENTARIO PRELIMINAR” se explicita el alcance de la expresión “modelización gráfica a mano alzada”. Se incluye aquí consideraciones que serán pertinentes para interpretar el sentido de la idea, del propósito central, que orienta las actividades que se desarrollan a lo largo de la totalidad de esta propuesta educativa.

 

A continuación, en el “MÓDULO BÁSICO”, con 16 capítulos en los que se han diferenciado 16 niveles sucesivos de complejidad, se han incluido estipulaciones con la finalidad de definir el formato de representación que asumen los modelos a medida que se transita por los sucesivos niveles, de manera tal que permitan analizar las situaciones que se plantean con progresivos grados de precisión en sus enunciados gráficos. Se presentan en estos capítulos actividades/ juegos contextualizados en una temática, dando así a estas actividades un

significado y un sentido que pretende atraer el interés de los cursantes.

 

Finalmente, se presenta el “MÓDULO SECUENCIAL ADAPTABLE – Variables anidadas en modelos gráficos de trazo a mano alzada, en diagramas cartesianos”. En su carátula se incluye una “NOTA”, en la que se explicita que la razón que

 

 

 

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explica el carácter secuencial y adaptable de este módulo, es facilitar su intercalación entre los diferentes capítulos del “MÓDULO BÁSICO”. De esta forma, el docente que dicta tendrá la opción de secuenciar la presentación de contenidos que involucran complejidades diversas, utilizando la estrategia más adecuada, seleccionando el instrumento didáctico más conveniente en cada caso, adecuando dicha secuencia al avance del curso y a situaciones particulares en un contexto de enseñanza personalizada. A continuación se expone una “INTRODUCCIÓN” en la que se expone el concepto de “modelo de variables anidadas”, y se estipula el formato que asumirán las representaciones, también “de trazo a mano alzada” en diagramas cartesianos, que se formularán en cada uno de los 3 capítulos que refieren a los niveles de complejidad creciente A-1, A-2 y A-3 que conforman este módulo. En el primero de estos 3 capítulos, “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-1’”, se presentan fenómenos cuya modelización en un sistema de diagramas cartesianos involucra 3 variables y 2 niveles de anidamiento. En el capítulo siguiente, “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-2’”, se propone la modelización de fenómenos en sistemas cartesianos con 4 variables y 2 niveles de anidamiento. Finalmente, en el siguiente capítulo “Nivel de complejidad ‘Variables anidadas A-3’” los fenómenos modelizados se presentan en 5 variables con 3 niveles de anidamiento.

 

Si bien las características de las situaciones planteadas a partir de las 6 variables que se han definido en este trabajo no permiten incluir aquí modelos con variables anidadas en 4 y más niveles, es importante dejar indicado que el modelo de variables anidadas es susceptible de ser generalizado a modelos de n variables anidadas en m niveles.

 

 

El primer paso

 

Sin embargo, para recorrer el extenso camino que hemos referido, debe antes darse el primer paso en esta secuencia. Y ese primer paso exige atrapar el interés del estudiante para luego continuar. Si el lenguaje gráfico de trazo a mano alzada, logra ser contextualizado por el docente en la representación de situaciones que despierten el interés del estudiante, podemos tener una esperanza …

 

 

 

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INTRODUCCIÓN

 

 

Se presenta a continuación una situación cuya finalidad es otorgar un marco de significación a las actividades de modelización gráfica que se desarrollarán a lo largo de esta obra.

 

La temática sobre la que se trabajará considera una ciudad de ficción: Felicilandia. Y en relación a ella el interés es estimar cuál será la densidad de su población en el año 2040.

 

En una primera instancia de simplificación en el análisis del fenómeno “densidad de población” en la ciudad de Felicilandia en el año 2040, se identifica un aspecto que lo determina, que es la “cantidad de habitantes” que esta ciudad albergará en el año 2040.

 

Así entonces, para analizar el fenómeno propuesto, en esta instancia de simplificación extrema deben considerarse en forma simultánea los 2 aspectos: “densidad de población” y “cantidad de habitantes”, ambos en el año 2040. Si quiero calcular cuál será la densidad de la población de Felicilandia en el año 2040, necesito estimar, en principio, la cantidad de habitantes que albergará esa ciudad en el año 2040. Y para aproximar algún resultado, debo considerar que cada uno de los 2 aspectos puede ser visualizado como un elemento variable, y a partir de ellos formular una hipótesis.”

 

 

 

Dos aspectos, dos variables y una hipótesis

 

Dos aspectos:

 

Aspecto 1) se supone que la densidad de la población de la ciudad de Felicilandia en el año 2040 es variable.

Aspecto 2) se supone que la cantidad de habitantes que albergará la ciudad de Felicilandia en el año 2040 puede asumir diversos valores.

 

Dos variables

 

 

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Para cada uno de los aspectos considerados puede definirse una variable para medir su dimensión cuantitativa. Las variables que se presentan en el “Nivel de complejidad 1”, a continuación de esta “Introducción”, asumirán el formato:

 

Variable V1 à V1 - Definición: densidad de la población en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

Variable V2 à V2 - Definición: cantidad de habitantes en la ciudad de Felicilandia en el año 2040.

 

Una hipótesis

 

Así entonces, a partir de estas dos consideraciones, se formula la hipótesis siguiente, la cual involucra la definición de 2 categorías de variables: variables dependientes y variables independientes. En esta situación V1 es variable dependiente y V2 es variable independiente.

 

 
 
 
 
 

Sin embargo, puede especularse: en el periodo que se extiende entre los años 2010 y 2040, ¿cuál será la política de control de la natalidad?; ¿habrá entonces muchos nacimientos?; ¿cómo progresará la medicina y cuál será entonces la evolución de la esperanza de vida en Felicilandia en el periodo?; ¿se reducirá entonces el numero de fallecimientos?; ¿cuál será la dirección de las migraciones de población?; ¿atraerá inmigrantes o la migración será hacia el exterior?; ¿puede alguna eventualidad modificar el trazado de los límites de la ciudad? Son diversas las circunstancias que incidirán en el periodo 2010/2040 para determinar la “densidad de la población en Felicilandia en el año 2040".

 

No obstante, se comenzará considerando la hipótesis que se acaba de formular, sin considerar, por ahora, las circunstancias apuntadas en el párrafo anterior.

 

 

 

* * *

 

 

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Seguidamente, iniciamos el tránsito por este camino que denominamos “MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS”. Después del “Comentario Preliminar”, donde se expone la justificación y el alcance de la actividad de enseñanza-aprendizaje que hemos denominado “modelización gráfica a mano alzada”, se comienza a recorrer dicho primer nivel de complejidad con actividades de modelización extremadamente sencillas, de un nivel elemental, para luego, en los capítulos sucesivos, complejizar progresivamente el análisis de la temática propuesta, incorporando aspectos relevantes de la misma, planteando circunstancias diversas que pueden determinar alteraciones en la “densidad de la población en Felicilandia en el año 2040”.

 

 

 

NOTA 2: ENUNCIADOS HIPOTÉTICOS

Todas y cada una de las representaciones gráficas expuestas en este trabajo son enunciados hipotéticos, que pueden, o no, ser enunciados verdaderos. De esta manera, cada uno de ellos es una propuesta cuya veracidad debería ser contrastada empíricamente, para, así, ser verificada.

 

NOTA 2: LA DISTINCIÓN ENTRE TRAMOS RELEVANTES Y TRAMOS NO RELEVANTES DE VARIACIÓN DE LAS VARIABLES DE UN MODELO GRÁFICO

En cada uno de los modelos expuestos en este libro deberán considerarse únicamente los tramos de las variables que tengan sentido en relación con la situación específica de la realidad que se está representando, debiendo descartarse aquellos tramos que son incompatibles con esa situación.

En algunos casos el modelista tendrá la intención de modelizar sólo un tramo de la variable independiente en el cual el fenómeno a ser analizado presenta determinadas características. Explicitada su intención, el procedimiento es absolutamente válido: quedan descartados del modelo aquellos tramos de la variable que el modelista ha estipulado como irrelevantes para esa modelización en forma particularizada.

 

 

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MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA QUE NO OPERA NÚMEROS NI CÁLCULOS ALGORÍTMICOS EN DIAGRAMAS CARTESIANOS

 

 

 

 

 

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COMENTARIO PRELIMINAR

 

 

 

MODELIZACIÓN GRÁFICA A MANO ALZADA

 

¿Cuál es el significado, el alcance y la razón de la inclusión en este trabajo de la expresión “a mano alzada”, y de su metodología, aplicada a las técnicas de modelización gráfica que se exponen en esta obra?

 

A continuación se enuncian algunas consideraciones que serán pertinentes para interpretar el sentido de la idea, del propósito central, que orienta las actividades que se desarrollan a lo largo de esta propuesta educativa.

 

 

A) Un lenguaje

 

Se presenta aquí un lenguaje apto para evaluar hechos cuantificables, que no requiere operación numérica. Conformado por un conjunto reducido de sencillas reglas de modelización gráfica, tiene como finalidad su aplicación en procesos de enseñanza- aprendizaje orientados a la exploración de relaciones, formulación de hipótesis y solución de problemas. Como componente de una estrategia metodológica centrada en aprendizajes significativos, propone el análisis de fenómenos contextualizados en situaciones concretas, que pueden representarse en términos de figuras (formas plásticas), que se interpretan mediante el cálculo visual.

 

 

B) Formas de expresión plástica vs formas de expresión numérica

 

Así entonces, en esta obra, utilizando esta metodología para analizar hechos y situaciones, se construirán modelos gráficos en rectas numéricas y diagramas cartesianos desde el nivel más

 

 

 

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elemental. Se prescindirá de la utilización de números para expresar las cantidades.

 

Sin embargo, como de mediciones se trata, no podremos evitar tener que lidiar con cantidades. ¿Cómo se expresarán las cantidades si no se usan los números? Se expresarán a través de la longitud de segmentos referidos a la longitud de otro segmento, definido por el modelista, y para cada caso, como unitario. Si consideramos I) el universo de los números reales, y II) la longitud de cada uno de los segmentos determinados por el punto de origen y cada uno de los puntos sucesivos de ambos semiejes de un eje, definiendo arbitrariamente un segmento cuya longitud represente la unidad, podremos encontrar, en correspondencia biunívoca, para cada número real, un segmento que lo represente, segmento éste cuya longitud será evaluada, en esta presentación, en términos físicos, visuales. Estamos sustituyendo el uso de una forma de expresión ideal, abstracta, el número, por una forma de expresión concreta, de evaluación visual, plástica: la longitud de un segmento.

 

 

C) Medición precisa vs medición aproximada

 

Tampoco mediremos en términos precisos la cantidad que la longitud de cada segmento indica: sólo compararemos visualmente longitudes entre ellos, y extraeremos conclusiones cuantitativas aproximadas desde esa comparación, ignorando inclusive la definición de una unidad de longitud universal: el modelista definirá, en cada caso su propia unidad de longitud para medir cantidad. En la comparación estableceremos la igualdad de 2 o más segmentos, distinguiremos un segmento nulo, también si un segmento es mayor (menor) que otro, si lo es “muy poco", "poco", "bastante", "mucho", "muchísimo", si es enormemente, o infinitamente mayor (menor), haciendo uso de categorías cuantitativas no exactas: estamos sustituyendo la medición precisa por la medición aproximada, a partir de la utilización de categorías conceptuales que nos permiten operar este lenguaje en un nivel de extrema simplificación. En este contexto simplificado de la representación gráfica, el trazo preciso de una curva en el diagrama cartesiano se hace innecesario. Así, entonces, aparece como relevante el concepto de representación gráfica “A MANO ALZADA.

 

Los modelos gráficos que aquí se construyen, no se expresan en términos algebraicos. En ese caso se podrían calcular con precisión las cantidades con que opera cada modelo. Las cantidades con que opera la modelización gráfica de trazo a mano alzada no tendrán la precisión que el cálculo algebraico permite, tendrán la precisión que el cálculo visual de longitudes y formas permita: lo que se pierda en precisión se ganará en simplicidad orientada a aprendizaje, pues ése es el objetivo principal de este trabajo.

 

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